SAT2数学level2经典考题讲解

SAT2 一共设有20个科目，如下表所展示（当然，对于中国考生来说，大约只有数学，物理，化学，生物，历史5科）：

这些科目都是选择题，每场考试时长1小时，分数级别为200-800，以800分为满分。

在这些科目中，中国考生通常在数学、物理、化学三门科目中可以争取高分甚至是满分，在此分析一道经典的SAT2数学题的多样的解法，希望能给你一些启发。

SAT2—Mathematics数学—Level 2第二级别

例题： If-1 is a zero of function of , then what are the other zeros?

A. 1and 3 B.-3 and 3 C.-7/2 and 3 D.-3 and 1 E.-7/2 and 1 and 3

翻译：如果-1是方程的一个零点，那么其他的零点是谁?

解析：这道题目最本质的考点是：syntheticdivision(综合除法)。但是对于考生而言，首先要理解的关键数学术语是zero，零点。什么是零点呢?零点是使得方程的因变量(dependent variable, 即f(x))等于0 (即：图像与x轴相交)的x的值。以下给出这个方程的图像，从中我们要找出蓝色的曲线和X轴(横轴)相交的三个点的x坐标值。

就本题而言，既然题目说-1是一个零点，那么就将x=-1带入方程，会发现f(x)确实等于0.那么，另外的使方程等于0的x的值应该怎么求得呢?

方法1：画图求解，(考场上实际操作可能性为0)。

如上图所示，三个让方程与横轴相交的点的x值分别为-3.5，-1， 3。所以，-1给出来的情况下，另外两个点应该选择C。但是，考场上根本不可能有时间和工具供我们画图，因此这个方法不是实际操作可行的方法，不予考虑。

方法2：代入法

既然是选择题，就可以用带入法求解。带入法求解的时候，要遵循以下两个原则：

(1)带入常见的数值来检验是否正确;

(2)在常见数值中带入易于计算的数值来看是否正确。

按照这两个原则，在5个选项中首先带入1来运算，因为好计算，还因为出现了3次。当x=1时候，f(x)=-36，显然不是0，因此有1的ADE都不是答案。

下一步，在剩下的BC两个选项中，要检验的是-3，因为两项都有3，说明3一定是答案，而-3和-7/2中，-3更方便于计算，于是决定用-3来检验。当x=-3时候，f(x)=12，显然不是0，因此答案不是B而是C.

由此可见，代入法是一个smart strategy，是带有一点小聪明的策略。在代入法的过程中耗时的长短体现了考生的判断和逻辑分析。但是，即使可以凭借这种方法选择答案，这也不是最具有实力的方法。如果考生想以后在数理化方面深造或者颇有建树，就需要掌握最具有实力的方法。

方法3：求根公式，因式分解(factoring)

由题目可知：-1是该方程的一个解，因此(x+1)是的一个factor(因子)，用就可以得出另外的零点值。

可见，另外的两个零点值是3和-7/2。

这种解题方式根植于方程的求根公式: f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)

这里的x1, x2, x3是使得多项式等于0的自变量x的三个根。

以上的做法，是通过因式分解(factoring)的方式来做的，以下给出更加challenging的方法，综合除法的具体运算过程：

方法4：SyntheticDivision (综合除法)

方法4与方法3紧密相连，但是综合除法是一种除多项式的快速方法，需要除以多项式的系数。因为这种方法在美高和国际高中的学生中不太常用，所以更加需要学生掌握。以下给出步骤：

首先提取的各项系数降幂排列：

2 3 -20 -21

第一步：因为x=-1为零点，将-1按如下形式写在上式的左边：

第二步：用-1乘以2，计算的结果，写在3的下面：

第三步：计算3+(-2)值1写在-2的下面：

第四步：计算1x(-1)写在-20的下面：

第五步：计算-20+(-1)写在-1下面，然后用(-21)x(-1)得到21，将(-21)+21的得数写在-21下面，最终得到0，表示已经除尽。如下所示：

第六步：然后，将最高次项的系数2降下，得到：

由于f(x)的最高次是3，则f(x)/(x+1)的最高次是2，所以可以得到f(x)为：

f(x)=(2x+7)(x-3) x=-7/2 or 3

所以答案选C。

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