对于 GRE 数学中的难题，应该如何思考和突破？

小站整理2024-10-27 16:04:49

730

问题相似？试试立即获取解答吧~

摘要：深入理解题目剖析题目条件：仔细研读题目中的每一个条件，明确已知信息和未知信息。对于复杂的条件，可以将其分解为简单的部分进行理解。例如，在一道涉及函数和几何图形的综合题中，先分别理解函数的表达式、定义域、值域等条件，以及几何图形的性质（如三角形的边长关系、圆的切线性质等），再思考它们之间的联系。识别题目类型和考点：确定题目所属的类型，如代数方程、几何证明、概率统计等，进而明确主要考点。例如，如果是一道几何难题，可能涉及相似三角形的判定和性质、圆锥曲线的方程等考点。这有助于回忆相关的知识点和解题方法。

深入理解题目
- 剖析题目条件：仔细研读题目中的每一个条件，明确已知信息和未知信息。对于复杂的条件，可以将其分解为简单的部分进行理解。例如，在一道涉及函数和几何图形的综合题中，先分别理解函数的表达式、定义域、值域等条件，以及几何图形的性质（如三角形的边长关系、圆的切线性质等），再思考它们之间的联系。
- 识别题目类型和考点：确定题目所属的类型，如代数方程、几何证明、概率统计等，进而明确主要考点。例如，如果是一道几何难题，可能涉及相似三角形的判定和性质、圆锥曲线的方程等考点。这有助于回忆相关的知识点和解题方法。
尝试不同的解题策略
- 正向推理与逆向推理相结合
  - 正向推理：从已知条件出发，按照正常的逻辑顺序逐步推导结论。例如，在求解一个含有多个变量的代数方程时，根据给定的方程关系，通过代入、消元等方法逐步求出未知变量的值。
  - 逆向推理：从题目要求的结论反向思考，思考什么样的条件可以得到这个结论。例如，题目要求证明一个几何图形的某种性质，那么可以思考具有这种性质的图形通常需要满足哪些前置条件，然后从已知条件中寻找线索来满足这些条件。
- 特殊值法和一般化方法灵活运用
  - 特殊值法：对于一些一般性的结论或存在性问题，可以通过代入特殊值来简化问题。例如，在判断一个关于整数的等式是否成立时，可以先代入、、等特殊值进行验证。如果特殊值不满足等式，那么就可以否定这个结论；如果特殊值满足等式，还需要进一步考虑一般性情况。
  - 一般化方法：当特殊值法得到初步结论后，或者题目本身要求证明一般性的定理或公式时，需要将特殊情况推广到一般情况。这可能需要使用数学归纳法、变量代换等方法。例如，通过对、等特殊情况的观察，发现一个数列的通项公式，然后使用数学归纳法来证明这个公式对于所有正整数都成立。
构建知识联系
- 整合数学知识模块：GRE 数学难题往往涉及多个知识模块的综合运用。例如，一道难题可能同时涉及代数中的函数知识和几何中的图形变换知识。在解题时，要将这些不同模块的知识联系起来，思考函数的图像如何与几何图形的变换相结合，如函数的平移、伸缩与几何图形在坐标系中的位置变化和形状变化之间的关系。
- 借鉴类似题目解法：回忆曾经做过的类似题目，思考其解题思路和方法是否可以应用到当前的难题中。例如，遇到一道复杂的概率题，可以回想之前做过的概率分布、条件概率等相关题目，看看是否能从中获取灵感，如采用树状图、列表法等方式来分析概率问题。
多维度思考和检验
- 从不同角度审视问题：尝试从不同的数学概念或方法角度来思考难题。例如，对于一个几何问题，可以从纯几何证明的角度入手，也可以通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题来解决。这种多维度的思考方式可能会发现新的解题路径。
- 检验答案的合理性：在得到答案后，要检验答案是否合理。可以通过代入原题目条件、检查单位是否正确、答案是否符合实际情况等方式进行检验。例如，在求解一个几何图形的面积或体积时，答案应该是一个正数，并且其数值大小应该在合理的范围内，否则就需要重新检查解题过程。